Question

数列{an}前n项和为Sn，已知a1＝13，且对任意正整数m，n，都有am+n=am•an，若Sn＜a恒成立则实数a的最

Answer 1

解题思路：由a_m+n=a_m•a_n，分别令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出数列的各项，发现此数列是首项和公比都为[1/3]的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趋于正无穷时，求出S_n的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值．

令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=[1/9]，同理令m=2，n=1，得到a₃=[1/27]，…

所以此数列是首项为[1/3]，公比也为[1/3]的等比数列，则S_n=

1

3(1−

1

3n)

1−

1

3=[1/2]（1-[1

3n），

S_n＜a恒成立即n→+∞时，S_n的极限≤a，所以a≥

lim

n→+∞

1/2]（1-[1

3n）=

1/2]，

则a的最小值为[1/2]．

故选A

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和．

考点点评： 此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．