数列{an}前n项和为Sn,已知a1=13,且对任意正整数m,n,都有am+n=am•an,若Sn<a恒成立则实数a的最

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  • 解题思路:由am+n=am•an,分别令m和n等于1和1或2和1,由a1求出数列的各项,发现此数列是首项和公比都为[1/3]的等比数列,利用等比数列的前n项和的公式表示出Sn,而Sn<a恒成立即n趋于正无穷时,求出Sn的极限小于等于a,求出极限列出关于a的不等式,即可得到a的最小值.

    令m=1,n=1,得到a2=a12=[1/9],同理令m=2,n=1,得到a3=[1/27],…

    所以此数列是首项为[1/3],公比也为[1/3]的等比数列,则Sn=

    1

    3(1−

    1

    3n)

    1−

    1

    3=[1/2](1-[1

    3n),

    Sn<a恒成立即n→+∞时,Sn的极限≤a,所以a≥

    lim

    n→+∞

    1/2](1-[1

    3n)=

    1/2],

    则a的最小值为[1/2].

    故选A

    点评:

    本题考点: 等比数列的前n项和.

    考点点评: 此题考查了等比数列关系的确定,掌握不等式恒成立时所满足的条件,灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算,是一道综合题.