关于集合运算的应用收稿日期:2008-01-08
作者简介:邓凤茹(1969-),讲师,河北廊坊人,从事基础教育
教学工作.
1 简介集合论的运算
集合论是最近发现的数学理论,在1871年集合
论的创始人德国大数学家康.托尔给出集合的第一定
义,使“集合”成为数学基本概念之一,它也是整个
数学大厦的基础,虽然集合论很“年轻”,但是它能够
论证数学各个分支的统一性,例如代数式和几何式效
果是相等的.下面简单介绍集合的概念和运算.
1.1 集合的概念
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为集合的元素;根据集
合元素的个数集合分为有限集和无限集,同一性质
的集合可以定义运算,集合的运算有三种:并、交、
差.
1.2 集合的运算
设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于
B的元素组成的集合,称为A与B的并集,简称并
(或和),记作A∪B,即
A∪B={x|x∈A或x∈B}
由所有既属于A又属于B的元素组成的集合,
称为A与B的交集,简称交(或积),记作A∩B,即
A∩B={x|x∈A且x∈B}
由所有既属于A而不属于B的元素组成的集
合,称为A与B的差集,简称差,记作A-B,即
A-B={x|x∈A且x|B}
以上定义可推广到无限多个集合的运算
2 在概率统计学中的应用
1)概率的定义
设(Ω,F)是可测空间,对每一个集合A∈F,有
一实数与之对应,记为P(A),如果它满足下面三个
条件:(1)对每一个集合A∈F,有0≤P(A)≤1;
(2)对必然事件Ω,有P(Ω)=1;
(3)对任意集合A
i
∈F(i=1,2,…n),Ai∩Aj
=Φ(i≠j),恒有
P(∪
n
i=1
A i)=
6
n
i=1
p(A i)(1)
则称实值函数P为(Ω,F)上的概率,P(A)就
称为事件A的概率
2)当A i∩A j≠Φ(i≠j),(i,j=1,2…,n)时,
公式一变成一般式即
P(∪
n
i=1
A i)=
6
n
i=1
p(A i)-
6
n
i=1
6
j>i
P(A i∩A j)
+
6
n
i=1
6
j>i
6
k>j
P(A i∩A j∩A k)-…+(-
1)
n-1
P(A 1∩A 2∩…∩A n)(2)
由De Morgan定理(对偶律或摩根律)可得下述
概率公式:
P(∩
n
i=1
A i)=P(∪
n
i=1
A i)=P(Ω-∪
n
i=1
A i)
即
P(∩
n
i=1
A i)=1-[
6
n
i=1
p(A i)-
6
n
i=1
6
j>i
P(A i∩A j)
+
6
n
i=1
6
j>i
6
k>j
P(A i∩A j∩A k)-…+(-
1)
n-1
P(A 1∩A 2∩…∩A n)](3)
注意:三个公式的适用条件
当n=2时,为最简单的形式即
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
当A∩B=Φ时,P(A∪B)=P(A)+P(B)(可加性)
3 在组合数学中的应用
1)集合中元素个数:设A为有限集合,A中元
素个数为r,则称r为A的元素个数,记作:|A|=r
2)推导一般公式
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|(当A∩B=
Φ时,|A∪B|=|A|+|B|)
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-[|A∩B|
+|A∩C|+|B∩C|]+|A∩B∩C|
推广到一般形式:
∪
n
i=1
A i=6
n
i=1
|A i|-
6
n
i=1
6
j>i
|A i∩A j|+
6
n
i=1
6
j>i
6
k>j
|A i∩A j∩A k|-…+(-1)n-1|A 1
∩A2∩…∩An|(4)
由De Morgan定理(对偶律或摩根律)可得下述
公式
∩
n
i=1
A i=∪
n
i=1
A i=I-∪
n
i=1
A i(I为全集,|I
|=m)
即
∩
n
i=1
A i=m-6
n
i=1
|A i|-
6
n
i=1
6
j>i
|A i∩A j|
+
6
n
i=1
6
j>i
6
k>j
|A i∩A j∩A k|-…
+(-1)
n-1
|A 1∩A 2∩…∩A n|(5)
公式(4)与公式(5)就是容斥原理
3)推广容斥原理
(1)|A∩B|=|A-(A∩B)|=|A|-|A∩B|
同理|B∩A|=|B-(A∩B)|=|B|-|A∩
B|
即|A∩B|+|B∩A|=|A|+|B|-2|A∩B|
(2)
|A∩B∩C|=|A∩(B∪C)|=|A∩[I-(B
∩C)]|=|A-[(A∩B)U(A∩C)]|=|A|-(|
A∩B|+|A∩C|)+|A∩B∩C|
同理可得:
|A∩B∩C|=|B|-(|A∩B|+|B∩C|)+
|A∩B∩C|
|A∩B∩C|=|C|-(|A∩C|+|B∩C|)+
|A∩B∩C|
即
|A∩B∩C|+|A∩B∩C|+|A∩B∩C|=|
A|+|B|+|C|-2(|A∩C|+|B∩C|+|B∩C
|)+3|A∩B∩C|
(3)推广到一般情况
|A 1∩A 2∩A 3∩…∩A n|+|A 1∩A 2∩A 3∩
…∩A n|+…|A1∩A2∩A3∩…∩An|=6
n
i=1
|A i|-
26
n
i=1
6
j>i
|A i∩A j|+3 6
n
i=1
6
j>i
6
k>j
|A i∩A j∩A k|-…+n
|A 1∩A 2∩…∩A n|
令α(m)=6|A
i
1
∩Ai
2
∩…∩Ai
m
|,β(1)=6
|A i
1
∩Ai
2
∩…∩Ai
n
|
则上式可表示为:
β(1)=C1
1
α(1)-C1
1+1
α(2)+C2
1+2
α(3)-…+
C
1
n
α(n)
同理可推广:
β(m)=Cm
m
α(m)-Cm
m+1
α(m+1)+Cm
m+2
α
(m+2)-…+(-1)n-m Cm
n
α(n)(6)
公式(6)为广义的容斥原理(证明略)
4 应用案例
一个学校只有3门课程:数学,物理,化学.已知
修这三门课的学生分别有170,130,120人;同时修数
学、物理两门课的学生有45人;同时修数学、化学两
门课的学生有20人;同时修物理、化学两门课的学生
有22人;同时修三门课的学生有3人.问在该校众
人抽一名,问他是只参加数学课程的概率是多少?
解:设A为修数学课的学生集合;B为修数学课
的学生集合;C为修数学课的学生集合;则有:
|A|=170;|B|=130;|C|=120;|A∩B|=
45;|A∩C|=20;|C∩B|=22
|A∩B∩C|=3
学校共有学生人数:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-[|A∩B|
+|A∩C|+|B∩C|]+|A∩B∩C|
=170+130+120-(45+20+22)+3=336
(人)
只参加数学课程的人数:
|A∩B∩C|=|A|-(|A∩B|+|A∩C|)+
|A∩B∩C|
=170-(45+20)+3=108
则在该校众人抽一名,只参加数学课程的概率为:
P(A∩B∩C)=|
A∩B∩C|
|A∪B∪C|=
108
336≈
0.3214
(下转第39页)(上接第32页)
5 结 语
通过对集合运算在《概率统计》与《组合数学》两
门课程中应用的讨论,我们可以归纳为函数式的应
用问题,如果把求概率和求集合中元素的个数抽象
成为函数,把对应法则统一看作f,x,y为变量,
“+”表示“加”或“或”的含义“;3”表示“乘”或“与”,
“x”表示“差”或“非”,则该函数满足下列性质:
(1)f(x+y)=f(x)+f(y)-f(x y)
(2)将上式推广到有限个元素中去为:
f(6
n
i=1
x i)=6
n
i=1
f(x i)-6
n
i=1
6
j>i
f(x i x j)+6
n
i=1
6
j>i
6
k>i
f
(x i x j x k)-…+(-1)n-1 f(x 1 x 2…x n)
(3)由De Morgan定理可知下述等式(A常数)
f(6
n
i=1
x i)=A-[6
n
i=1
f(x i)-6
n
i=1
6
j>i
f(x i x j)+6
n
i=1
6
j>i
6
k>i
f(x i x j x k)-…+(-1)n-1 f(x 1 x 2…x n)]
注“:3”号可以省略不写,“∏”表示连乘号以
上等式还可以推广到无穷多个变量的函数等式中
去,并且该函数也可以应用于其它领域当中.
参考文献:
[1]卢开澄.组合数学[M].北京:清华大学出版社,2003.
[2]梁之舜.概率论及数理统计[M].北京:高等教育出版
社,2005.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出
版社,2005.