Question

设A、B是椭圆x^2/4+y^2=1上的两点,O为坐标原点 若直线AB在y轴上的截距为4,且OA,OB斜率之和等于2

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB：y=kx+4

则y1=kx1+4,y2=kx2+4

∵OA,OB斜率之和等于2

∴y1/x1 + y2/x2=2

即[(kx1+4)/x1] +[(kx2+4)/x2] =2

即k + (4/x1) + k + (4/x2)=2

2k+(4/x1 + 4/x2)=2

2k + [4(x1+x2)/x1x2]=2

k+[2(x1+x2)/x1x2]=1

联立椭圆直线得

x²/4 + y²=1

y=kx+4

(1+4k²)x²+32kx+60=0

x1+x2= -32k/(1+4k²) ,x1x2=60/(1+4k²),(x1+x2)/x1x2= -8k/15

k+[2(x1+x2)/x1x2]=1

k-16k/15=1

k=-15