解题思路:(1)先对函数进行求导,根据函数f(x)在x=2取得极值,说明导函数在x=2时值为0,
再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3,列出方程组即可求出a、b的值,进而可以求出函数的单调区间;
(2)可以求出函数在闭区间∈[1,3]上的最小值,这个最小值要大于1-4c2,解不等式可以得出实数c的取值范围.
(1)由题意:f′(x)=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为-3;
由已知
f′(1)=3+6a+3b=−3
f′(2)=12+12a+3b=0 所以
a=−1
b=0-----------------(3分)
所以由f′(x)=3x2-6x>0得心x<0或x>2;
所以当x∈(0,2)时,函数单调递减;
当x∈(-∞,0),(2,+∞)时,函数单调递增.-----------------(6分)
(2)由(1)知,函数在x∈(1,2)时单调递减,在x∈(2,3)时单调递增;
所以函数在区间[1,3]有最小值f(2)=c-4要使x∈[1,3],f(x)>1-4c2恒成立
只需1-4c2<c-4恒成立,所以c<−
5
4或c>1.
故c的取值范围是{c|c<−
5
4或c>1}-----------------(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义,以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于中档题.