无穷小代换必须在一定的精度下才能得到正确的结果的,而且通常应用才乘除运算中.
第一个这种情况应该先取对数得
x - x^2*ln(1+1/x)
如果直接代入ln(1+1/x) ~ 1/x就会由于精度丢失产生错误,这个时候需要代入更高精度的泰勒级数
取ln(1+1/x) ~ 1/x - 1/2x^2代入得
= x - x^2 (1/x - 1/2x^2) = x - x + 1/2 = 1/2
所以原式的极限应该是e^(1/2)
当然x - x^2*ln(1+1/x) 的极限也可以令 t = 1/x得 t - ln(1+t) / t^2然后用洛必达法则计算
e-(1+x)^(1/x)这个也是一样的,直接代入一次项会丢失精度,如果代入(1+x)^(1/x) ~ e - ex/2
那么极限变成e - (e-ex/2) / x = e/2
当然这个也可以用洛必达法则计算