解题思路：（1）求出函数的导数，通过a≤0，a＞0讨论导函数的根，判断导函数的符号，从而确定函数f（x）的单调区间；
（2）利用（1）的结果，使得函数g（x）=x2-2bx+4，当a=1时，若对任意x1∈（[1/2]，[3/2]），当任意x2∈[2，4]时，f（x1）≥g（x2）恒成立，转化为：g（x）≤f（x）min，求实数b的取值范围
（1）函数f（x）=ax2-2lnx
∴f，(x)＝2ax−
2
x＝
2ax2−1
x，(x＞0)，
当a≤0时；f′（x）＜0．所以f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；
当a＞0时；f′（x）=0．得x=
1
a，若x＜
1
a则f′（x）＜0；若x＞
1
a则f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，
1
a）上是单调递减函数；在（
1
a，+∞）是单调递增函数
综上可知：当a≤0时；f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；
当a＞0时；f（x）在（0，
1
a）上是单调递减函数；在（
1
a，+∞）是单调递增函数…（6分）
（2）由（1）可知f（x）min=f（1）=1
所以g（x）≤1在x∈[2，4]上恒成立；
即x2-2bx+4≤1在x∈[2，4]上恒成立；
可得b≥
x
2+
3
2x恒成立，x∈（2，4），
y=[x/2+
3
2x]是减函数，x=4时，函数取得最大值为：y=[x/2+
3
2x]＜[4/2+
3
2×4]=[19/8]，
所以b≥
19
8…（12分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的导数的应用最值的求法，函数的单调性的判断与证明，难度比较大的压轴题．