Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列{bn}的首项为1，bn+1-bn-2=0．

Answer 1

解题思路：（1）由a_n是S_n与2的等差中项得递推式，在递推式中分别取n=1和n=2即可求得a₁和a₂的值；

（2）由（1）中的递推式和求得数列{a_n}是等比数列，由b_n+1-b_n-2=0推得数列{b_n}是等差数列，则数列{a_n}，{b_n}的通项公式可求；

（3）把a_n和b_n代入c_n=a_n•b_n后直接利用错位相减法求和．

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，

∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4；

（2）∵S_n=2a_n-2①，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）②，

①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即an=2an-1(n≥2，n∈N*)，

∵a₁≠0，∴

an

an-1=2，(n≥2，n∈N*)，即数列{a_n}是等比数列．

∵a₁=2，∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n．

由已知得b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，

又b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；

（3）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，

∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n③，

∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1④，

③-④得：-Tn=1×2+(2×22+2×23+…2×2n)-(2n-1)2n+1．

即：-Tn=1×2+(23+24+…2n+1)-(2n-1)2n+1=2+

23(1-2n-1)

1-2-(2n-1)2n+1

∴Tn=(2n-3)2n+1+6．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，常采用错位相减法．此题是中档题．