解题思路：首先要知道，在长方形中，最长的距离肯定是对角线的长度即AC或BD，所以当两只蚂蚁分别在相对的两个顶点时，距离最大．若两只蚂蚁分别在A、C两点，则两只蜗牛分别走了三角形周长整数倍和长方形半周长整数倍，但两只蜗牛逆时针爬，能出现在AC处，则一定会先出现在BD处，因为是长方形，对边相等，在AC处顺时针往回走一个长边长就能到达BD．计算时显然AC处简单，即求三角形周长34和长方形半周长24的最小公倍数，最小公倍数为408，距离之和为816，但会先出现在BD处，在AC结果的基础上减去两个长边长即可求答案．
三角形周长是14+10+10=34，长方形的周长一半是10+14=24，
34=2×17，24=2×2×2×3，
所以34和24的最小公倍数是2×2×2×3×17=408，
出现在AC处距离之和为816，
出现在BD处距离之和为816-14×2=788，
答：当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程和为788，
故答案为：788．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 解题的关键是确定当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时所处的位置．