解题思路：（1）求导后判定函数的单调性，利用单调性求最值；（2）先化简g（x），得到其值域，将问题转化为当0＜m≤1时，f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根．通过分类讨论确定两个不同的根时a的取值范围．
（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，f′(x)＝1−
2
x＝
x−2
x，
则函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，在区间[2，e]上为增函数，
又f（1）=0＞f（e）=e-3，
则f（x）max=f（1）=0，
f（x）min=f（2）=1-2ln2．
（2）∵g'（x）=（1-x）e1-x，
则函数g（x）在区间（0，1]上为增函数，在区间[1，e]上为减函数，
又g（0）=0＜g（e）=e2-e，g（1）=1，
则函数g（x）的值域为（0，1]．
则原问题转化为：当0＜m≤1时，f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根．
而f′(x)＝2−a−
2
x＝
(2−a)x−2
x．
当a≥2时，函数f（x）在区间（0，e]上为减函数，不符合题意．
当2−
2
e≤a＜2时，有[2/2−a≥e，函数f（x）在区间（0，e]上为减函数，不符合题意．
当a＜2−
2
e]时，有0＜
2
2−a＜e，
此时函数f（x）在区间(0，
2
2−a]上为减函数，在区间[
2
2−a，e]上为增函数，
而当x趋于零时，f（x）趋于正无穷，且最小值为f(
2
2−a)．
要使f（x）=m在区间（0，e]上有两个不同的根，则f(
2
2−a)＜m≤f(e)．
又0＜m≤1，且f(
2
2−a)≤f(1)＝0，
故只要f（e）≥1，得a≤2−
3
e−1．
而2−
2
e＞2−
3
e−1，
从而有a≤2−
3
e−1．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．
考点点评： 本题第一问比较简单，第2问要先化简g（x），求出其值域后将问题转化，且转化后也需要讨论单调性以确定何时有两个不同的根，属于难题．