数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 , 互异性 , 无序性 .
集合元素的互异性：如： , ,求 ；
（2）集合与元素的关系用符号 , 表示.
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 .
（4）集合的表示法： 列举法 , 描述法 , 韦恩图 .
注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合.（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
注意：条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.
如： ,如果 ,求 的取值.
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 .
（2） ； ；
（3）对于任意集合 ,则：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 为偶数,则 ；若 为奇数,则 ；
②若 被3除余0,则 ；若 被3除余1,则 ；若 被3除余2,则 ；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 .
（2） 中元素的个数的计算公式为： ；
（3）韦恩图的运用：
四、 满足条件 , 满足条件 ,
若 ；则 是 的充分非必要条件 ；
若 ；则 是 的必要非充分条件 ；
若 ；则 是 的充要条件 ；
若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；
五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若 ,则 ”在解题中的运用,
如：“ ”是“ ”的 条件.
六、反证法：当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个
否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若 , ；问： 到 的映射有 个, 到 的映射有 个； 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.
函数 的图象与直线 交点的个数为 个.
二、函数的三要素： , , .
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ,则 ； ② 则 ；
③ ,则 ； ④如： ,则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数 的定义域是 ,求 的定义域.
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ；定义域为 .
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ,利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.
⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法.
应用：比较大小,证明不等式,解不等式.
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系.f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数.
判别方法：定义法, 图像法 ,复合函数法
应用：把函数值进行转化求解.
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律.
常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考）
平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系数,要先提取系数.如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象.
（ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量 （m,n）平移的意义.
对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称
y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称
y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称
y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称.（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换.
一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
如： 的图象如图,作出下列函数图象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） .
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择；②将 互换,得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）.
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数,它一定不存在反函数.
如：求下列函数的反函数： ； ；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数： ,当 时,是增函数；当 时,是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法,化为 的形式,
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则
时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定,区间也固定.如：
(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.
(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：
根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根
充要条件
注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点的情况.
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； .
指数函数：y= (a>o,a≠1),图象恒过点（0,1）,单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和01和00)是等比数列.
25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
26. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ,则
（2）若数为 则, ,
27. 在等比数列 中：
（1） 若项数为 ,则
（2）若数为 则,
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 >0,d0时,若 ,则 ；
, , .
(2)当a