Question

（2010•闸北区一模）已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q＞0）

Answer 1

解题思路：（1）将已知递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{b_n}是等比数列．

（2）先利用等比数列的通项公式求出b_n，再用叠加法求出数列{a_n}的通项公式．

（3）将两个数列的通项代入不等式得到关于d的不等式，将不等式因式分解，求出d的范围．

（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）得，a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）．

又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，b_n≠0．

所以，{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列

（2）由（1）有，b_n=q^n-1
又a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+q+…+q^n-2（n≥2）

所以，当n≥2时，an＝

1+

1−qn−1

1−q，q≠1

n，q＝1.．

上式对n=1显然成立．故有an＝

1+

1−qn−1

1−q，q≠1

n，q＝1.．

（3）q=1符合题意；

若q≠1，1+

1−qn−1

1−q＞qn−1

(1−qn−1)(1+

1

1−q)＞0

1−qn−1＞0

1+

1

1−q＞0或

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．

考点点评： 本题考查证明一个数列是等比数列的方法是利用等比数列的定义；利用等比数列的前n项和的公式时，一定注意公比为1时要分类讨论．