(2014•虹口区二模)函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则

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  • 解题思路:(1)根据条件|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断,即可得到结论.

    (2)根据|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,建立条件关系,即可求出结论,

    (3)利用函数是“圆锥托底型”函数.则满足条件|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,即可得到结论.

    (1)∵|2x|=2|x|≥2|x|,即对于一切实数x使得|f(x)|≥2|x|成立,

    ∴f(x)=2x是“圆锥托底型”函数.…(2分)

    对于g(x)=x3,如果存在M>0满足|x3|≥M|x|,而当x=

    M

    2时,由|

    M

    2|3≥M|

    M

    2|,

    ∴[ M/2≥M,得M≤0,矛盾,

    ∴g(x)=x3不是“圆锥托底型”函数.…(5分)

    (2)∵f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,故存在M>0,使得|f(x)|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立.

    ∴当x≠0时,M≤|x+

    1

    x|=|x|+

    1

    |x|],此时当x=±1时,|x|+[1

    |x|取得最小值2,∴M≤2.…(9分)

    而当x=0时,|f(0)|=1≥M|0|=0也成立.

    ∴M的最大值等于2.…(10分)

    (3)①当b=0,k=0时,f(x)=0,无论M取何正数,取x0≠0,则有|f(x0)=0<M|x0|,

    f(x)=0不是“圆锥托底型”函数.…(12分)

    ②当b=0,k≠0时,f(x)=kx,对于任意x有|f(x)|=|kx|≥|k||x|,此时可取0<M<k|,

    ∴f(x)=kx是“圆锥托底型”函数.…(14分)

    ③当b≠0,k=0时,f(x)=b,无论M取何正数,取|x0|>

    |b|/M].有|b|<M|x0|,

    ∴f(x)=b不是“圆锥托底型”函数.…(16分)

    ④当b≠0,k≠0时,f(x)=kx+b,无论M取何正数,取x0=−

    b

    k≠0,有|f(x0)|=0≤M|x0|,

    ∴f(x)=kx+b不是“圆锥托底型”函数.

    由上可得,仅当b=0,k≠0时,f(x)=kx+b是“圆锥托底型”函数.…(18分)

    点评:

    本题考点: 函数的值.

    考点点评: 本题主要考查与函数有关的新定义,考查学生的推理能力和运算能力,综合性较强,难度较大.