首先,解决S'n = 1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 + …… + n*2^(n-1)的问题
这是一个等差数列的项和一个等比数列的项相乘而构成的数列,我们可以考虑使用倍差法解决问题.
S'n = 1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 + …… + n*2^(n-1)
2S'n = 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + …… + n*2^n
两式相减,得：S'n = -(2^0 + 2^1 + …… + 2^(n-1)) + n*2^n
第一项是等比数列的和,计算后得：S'n = 1 - 2^n + n*2^n = (n-1)2^n + 1
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然后,考虑{an}的前100项的构成：
写到最后一个“n”的时候,应该是整个数列的第(1 + 2^1 + 2^2 + …… + 2^(n-1) = 2^n - 1)项.
考虑到n = 7时,最后一个7位于数列的第127位,n = 6时,最后一个6位于数列的第63位.
所以前100项的和S100 = S'6 + 37 * 7 = 580
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最后一个9位于数列的511位,最后一个10位于数列的1023位.
所以前1000项的和S1000 = S'9 + 489 * 10 = 8987
a101+a102+.+a1000 = S1000 - S100 = 8407