Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=a（a＞0）

Answer 1

解题思路：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则可得d=a-1，进而可得a₃，代入已知可得a的方程，解方程可得a值，可得通项公式；

（2）设等比数列{a_n}的公比为q，q≠1，则q=a，a_n=a^n-1，假设数列{a_n+1}是等比数列，可得（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1），代入后推矛盾即可．

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₂-a₁=a-1，

∴a₃=a₂+d=2a-1，∴a₂•a₃=a（2a-1）=6，

解得a=2，或a=-[3/2]（舍去），

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n；

（2）设等比数列{a_n}的公比为q，q≠1，

则q=a，a_n=a^n-1，

假设数列{a_n+1}是等比数列，

则（a_n+1+1）²=（a_n+1）（a_n+2+1）

∴（aⁿ+1）²=（a^n-1+1）（aⁿ⁺¹+1）

展开化简可得2aⁿ=a^n-1+aⁿ⁺¹，

同除以a^n-1可得a²-2a+1=0，解得a=1，

可得q=1，这与q≠1矛盾，

∴数列{a_n+1}不是等比数列

点评：

本题考点： 等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的通项公式和性质，涉及反证法的应用，属中档题．