分析:(1)本题可过A作圆O的直径,然后证这条直径与AD垂直即可.可根据圆周角定理和已知的∠DAB=∠C来求解.
(2)本题的关键是证CF=DE,如图,如果证CF=DE,就必须证明O′Q=OP,就要证出∠OO′Q=∠O′OP,可通过证∠O′JR=∠OKR,即∠ABF=∠ABE来求解,证出CF=DE后,可根据切割线定理得出本题要求的结论.
(3)根据切割线定理和CA,FB的长,即可求出BC的长,也就能得出CF的长,(2)中已证得CF=DE,那么即可求出DE的长.
证明:(1)过A作⊙O的直径AG连接BG,则∠G=∠C,∠ABG=90°,
∵∠BAD=∠C,
∴∠BAD=∠G.
∵∠G+∠BAG=90°,
∴∠DAB+∠BAG=90°.
即∠DAG=90°.
∴AG⊥AD.
∴DA是圆O的切线.
(2)如图:过O′作O′M⊥FC于M,作O′H⊥DE于H,
过O作ON⊥FC于N,过O作OL⊥DE于L;过O作OP⊥O′H于P,过O′作O′Q⊥ON于Q;
连接AB,OO′,则OO′⊥AB,OO′∥FC,OP∥DE,
∴∠ABF=∠O′JR,∠ABE=∠RKO.
∵∠ABF=∠BAC+∠C,∠ABE=∠D+∠DAB,
∵∠DAB=∠C,∠BAC=∠D,
∴∠ABF=∠ABE.
∴∠O′JR=∠OKR.
∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR.
∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ.
根据垂径定理易知:O′Q= 1/2CF,OP= 1/2DE,
∴CF=DE.
∵DA,AC分别是⊙O和⊙O′的切线,
∴CA²=CB•CF,DA²=DB•DE.
∴CA²:DA²=(CB:DB)•(CF:DE)=CB:DB.
(3)根据切割线定理可得:
∵CA²=CB•CF=CB•(CB+BF)=CB²+CB•BF,
∴45=CB²+4CB.
∴BC=4.
∴CF=BC+BF=9.
∴DE=CF=9.