圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且

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  • 分析:(1)本题可过A作圆O的直径,然后证这条直径与AD垂直即可.可根据圆周角定理和已知的∠DAB=∠C来求解.

    (2)本题的关键是证CF=DE,如图,如果证CF=DE,就必须证明O′Q=OP,就要证出∠OO′Q=∠O′OP,可通过证∠O′JR=∠OKR,即∠ABF=∠ABE来求解,证出CF=DE后,可根据切割线定理得出本题要求的结论.

    (3)根据切割线定理和CA,FB的长,即可求出BC的长,也就能得出CF的长,(2)中已证得CF=DE,那么即可求出DE的长.

    证明:(1)过A作⊙O的直径AG连接BG,则∠G=∠C,∠ABG=90°,

    ∵∠BAD=∠C,

    ∴∠BAD=∠G.

    ∵∠G+∠BAG=90°,

    ∴∠DAB+∠BAG=90°.

    即∠DAG=90°.

    ∴AG⊥AD.

    ∴DA是圆O的切线.

    (2)如图:过O′作O′M⊥FC于M,作O′H⊥DE于H,

    过O作ON⊥FC于N,过O作OL⊥DE于L;过O作OP⊥O′H于P,过O′作O′Q⊥ON于Q;

    连接AB,OO′,则OO′⊥AB,OO′∥FC,OP∥DE,

    ∴∠ABF=∠O′JR,∠ABE=∠RKO.

    ∵∠ABF=∠BAC+∠C,∠ABE=∠D+∠DAB,

    ∵∠DAB=∠C,∠BAC=∠D,

    ∴∠ABF=∠ABE.

    ∴∠O′JR=∠OKR.

    ∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR.

    ∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ.

    根据垂径定理易知:O′Q= 1/2CF,OP= 1/2DE,

    ∴CF=DE.

    ∵DA,AC分别是⊙O和⊙O′的切线,

    ∴CA²=CB•CF,DA²=DB•DE.

    ∴CA²:DA²=(CB:DB)•(CF:DE)=CB:DB.

    (3)根据切割线定理可得:

    ∵CA²=CB•CF=CB•(CB+BF)=CB²+CB•BF,

    ∴45=CB²+4CB.

    ∴BC=4.

    ∴CF=BC+BF=9.

    ∴DE=CF=9.