Question

设A是3阶实对称矩阵，（a，1，-1）T，（1，0，c）T和（-1，b，1）T都是它的特征向量，特征值依次为0，1，3．

Answer 1

解题思路：首先，依据实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的和线性无关的，得到三个方程，求解即得到a，b，c；其次，根据矩阵A的对角化，P^-1AP=∧，P和∧已知，求出A．

由题意，（a，1，-1）^T，（1，0，c）^T和（-1，b，1）^T两两正交，且它们线性无关，|A|=0•1•3=0

∴

a−c＝0

−a+b＝1

−1+c＝0

∴a=1，b=2，c=1

∴存在可逆矩阵P＝

11−1

102

−111，使得P−1AP＝∧＝

0

1

3

容易求得，P−1＝−

1

6

−2−22

−30−3

1−2−1

∴A=P∧P^-1=

1−10

−121

011

点评：

本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，以及实对称矩阵的对角化和正交化，是基础知识点．