Question

设λ1，λ2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，α1，α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2的特征向量，

Answer 1

解题思路：首先，根据矩阵特征值和特征向量的定义，将α₁+Aα₃，A（α₂-α₃），Aα₁+α₃化简；然后，将其用定义表示出线性相关；最后，由特征向量的性质，α₁，α₂和α₃是线性无关的，得到结论．

由题意，Aα₁=λ₁α₁，A（α₂-α₃）=λ₁α₂-λ₂α₃，Aα₃=λ₂α₃

∴α₁+Aα₃=α₁+λ₂α₃

∴α₁+Aα₃，A（α₂-α₃），Aα₁+α₃线性相关⇔

存在不全为零的实数k_i（i=1，2，3），使得

k₁（α₁+λ₂α₃）+k₂（λ₁α₂-λ₂α₃）+k₃（λ₁α₁+α₃）=0

⇔（k₁+k₃λ₁）α₁+k₂λ₁α₂+（k₁λ₂-k₂λ₂+k₃）α₃=0

⇔关于实数k_i（i=1，2，3）的齐次线性方程组

k1+k3λ1＝0

k2λ2＝0

k1λ2−k2λ2+k3＝0有非零解

⇔系数行列式为0，即

.

10λ1

0λ20

λ2−λ21.=λ₂（1-λ₁λ₂）=0

⇔λ₂=0或λ₁λ₂=1

故选：B．

点评：

本题考点： 向量组线性相关的判别．

考点点评： 此题考查矩阵特征值和特征向量的定义与性质，以及线性相关的判定．要注意将未知向量组的线性相关与已知向量组的线性无关相联系．