解题思路：A：若a⊥c，b⊥c，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直．B：若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直．C：若a⊥α，b∥α，则根据线与线的位置关系可得a⊥b．D：若a⊥α，b⊥α，则可得a∥b．
A：若a⊥c，b⊥c，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此答案错误．
B：若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此答案错误．
C：若a⊥α，b∥α，则根据线与线的位置关系可得a⊥b，所以C正确．
D：若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直的性质定理可得a∥b．
故选C．
点评：
本题考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握与线面位置关系有关的判定定理以及性质定理．