解:设所求圆圆心为(m,n)则半径为|n|,
所求圆为(x-m)^2+(y-n)^2=n^2
∵圆A(0,1)和B(4,a),
∴m^2+1-2n=0
m^2-8m+16+a^2-2an=0
消去n,得
(1-a)m^2-8m+(a^2-a+16)=0 *
∵过A(0,1)和B(4,a),且于x轴相切的圆只有一个
∴方程*有两个相等的实数根或者只有一个根
所以a=1或判别式等于0
当a=1时,m=2,n=5/2此时圆为(x-2)^2+(y-5/2)^2=25/4
当判别式=0时,a=0,m=4,n=17/2此时圆为(x-4)^2+(y-17/2)^2=289/4
所以所求圆为(x-2)^2+(y-5/2)^2=25/4
或(x-4)^2+(y-17/2)^2=289/4