Question

如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是（

Answer 1

解题思路：方法一：特殊化，取过焦点的直线y=1，求出直线依次交抛物线与圆的点，计算|AB|×|CD|的值；

方法二：设过抛物线焦点F的直线y=kx+1，与x²=4y联立，求出|AB|、|CD|的乘积来．

方法一：特殊化，抛物线x²=4y的焦点是F（0，1），

取过焦点的直线y=1，依次交抛物线与圆x²+（y-1）²=1的点是

A（-2，1）、B（-1，1）、C（1，1）、D（2，1），

∴|AB|×|CD|=1×1=1；

法二：∵抛物线焦点为F（0，1），

∴设直线为y=kx+1，

直线与x²=4y联立得：

y²-（4k²+2）y+1=0；

∵|AB|=|AF|-1=y_A，

|CD|=|DF|-1=y_B；

∴|AB|•|CD|=y_Ay_B=1．

故选：D．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了直线与抛物线的应用问题，是中档题目．