(2011•武昌区模拟)如图(1)是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条对角线,请在图(2)的正方体中将MN和PB画出

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  • 解题思路:(1)先将展开图进行还原,欲证MN∥平面PBD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PBD内一直线平行,根据四边形NDBM为平行四边形,则MN∥DB,而BD⊆平面PBD,MN⊄平面PBD,满足定理所需条件;

    (2)欲证AQ⊥面PDB,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AQ与面PDB内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知AQ⊥BD,同理可得AQ⊥PB,BD∩PD=B,满足定理所需条件;

    (3)分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF,根据二面角平面角的定义可知∠PEF为二面角P-DB-M为平面角,在直角三角形EFP中求出此角即可.

    M、N、Q、B的位置如图示.

    (1)∵ND∥MB且ND=MB

    ∴四边形NDBM为平行四边形

    ∴MN∥DB(3分)

    ∴BD⊆平面PBD,MN⊄平面PBD

    ∴MN∥平面PBD(4分)

    (2)∵QC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

    ∴BD⊥QC(5分)

    又∵BD⊥AC,

    ∴BD⊥平面AQC(6分)

    ∵AQ⊂面AQC

    ∴AQ⊥BD,同理可得AQ⊥PB,

    ∵BD∩PB=B

    ∴AQ⊥面PDB(8分)

    (3)分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF(9分)

    ∵在正方体中,PB=PD

    ∴PE⊥DB(10分)

    ∵四边形NDBM为矩形

    ∴EF⊥DB

    ∴∠PEF为二面角P-DB-M为平面角(11分)

    ∵EF⊥平面PMN

    ∴EF⊥PF

    设正方体的棱长为a,则在直角三角形EFP中

    ∵EF=a,PF=

    2

    2a

    ∴tan∠PEF=

    PF

    EF=

    2

    2

    ∠PEF=arctan

    2

    2(13分)

    点评:

    本题考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 本题主要考查直线与平面平行的判定,以及直线与平面垂直的判定和二面角的度量,二面角的求解在最近两年高考中频繁出现,值得重视.