如图:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,E、F分别为AD、BC的中点,请说明EF=[1/2](BC-AD

1个回答

  • 解题思路:过E作EG平行于AB,EH平行于DC,交BC分别为G、H,利用两直线平行同位角相等及∠B+∠C=90°,得到∠EGH+∠EHG=90°,可得出三角形EGH为直角三角形,同时得到四边形ABGE与四边形BHCD都为平行四边形,利用平行四边形的性质及E为中点得到BG=HC=AE=ED,可得出GH=BC-(BG+HC)=BC-(AE+ED)=BC-AD,且F为GH的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出EF为GH的一半,等量代换可得证.

    证明:过点E作AB、CD的平行线,与BC分别交于G,H,

    可得∠EGH=∠B,∠EHG=∠C,

    ∵∠B+∠C=90°,

    ∴∠EGH+∠EHG=90°,

    ∴∠GEH=90°,即△EGH为直角三角形,

    ∵AE∥BG,EG∥AB,ED∥HC,EH∥DC,

    ∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形,

    ∴BG=AE,CH=ED,

    ∵E、F分别是AD、BC的中点,

    ∴AE=BG=HC=ED,

    ∴FB-BG=FC-HC,即FG=FH,

    在Rt△EGH中,F为斜边GH的中点,

    ∴EF=[1/2]GH,

    又GH=BC-(BG+CH)=BC-(AE+ED)=BC-AD,

    则EF=[1/2](BC-AD).

    点评:

    本题考点: 梯形;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 此题考查了梯形的性质,平行线的性质,平行四边形的判定与性质,以及直角三角形斜边上的中线性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.