这么说吧，其实区别不大，实在要深究的话就是，
询问对方允许时，用"May“要正式一点，比较客气，往往用于陌生人之间或者正式场合。相当于I want to... Do you permit me ?。否定回答时可用can’t或mustn’t，表示“不可以，禁止”。
用 "Shall"来征求对方意见。有“要不要”Do you want me...?,"…..好吗"等意思。
Shall I open the window? 我开窗户好吗？
肯定回答,一般是yes, please；of course； certainly；否定回答，一般用no, thanks。
你看第一题，询问允许的味道更浓一些。第二题，用Shall更符合征求意见；