在三角形ABC中,边a平方,b平方,c平方成等差数列.求证:cotA,cotB,cotC也为等差数列

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  • 证明:

    cotA=cosA/sinA, cotC=cosC/sinC

    cotA + cotC=cosA/sinA + cosC/sinC = (cosAsinC + cosCsinA)/sinAsinC

    =sin(A+C)/sinAsinC

    =sinB/sinAsinC

    根据正弦定理可得,sinB=b/2R, sinA=a/2R, sinC=c/2R

    所以,cotA + cotC=(b/2R) /(a/2R * c/2R)=2Rb/ac

    cotB=cosB/sinB,

    根据正弦定理可得,sinB=b/2R;根据余弦定理,cosB=(a² + c² - b²)/2ac

    又已知a²,b²,c²成等差数列,即a² + c² = 2b²,所以cosB=b²/2ac

    所以,由正弦定理,及余弦定理结论可得,

    cotB=cosB/sinB=(b²/2ac)/(b/2R)=Rb/ac

    显然,cotA + cotC=2cotB,

    所以,得证cotA, cotB, cotC依次也成等差数列.