Question

（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△AD

Answer 1

解题思路：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A₁CB；

（2）由题意可证DE⊥平面A₁DC，从而有DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，可证A₁F⊥平面BCDE，问题解决；

（3）取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，可证A₁C⊥平面DEP，从而A₁C⊥平面DEQ．

（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE∥BC，又DE⊄平面A₁CB，

∴DE∥平面A₁CB，

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

∴DE⊥AC，

∴DE⊥A₁D，又DE⊥CD，

∴DE⊥平面A₁DC，而A₁F⊂平面A₁DC，

∴DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，

∴A₁F⊥平面BCDE，

∴A₁F⊥BE．

（3）线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC．

∵DE∥BC，

∴DE∥PQ．

∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A₁DC，

∴DE⊥A₁C，

又∵P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，

∴A₁C⊥DP，

∴A₁C⊥平面DEP，从而A₁C⊥平面DEQ，

故线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．