Question

已知直线l与x轴正方向、y轴正方向交于A，B两点，M，N是线段AB的三等分点，椭圆C经过M，N两点．

Answer 1

解题思路：（1）因为M，N是线段AB的三等分点在坐标轴上，由椭圆标准方程列式求得a、b的值，进而求得椭圆方程；

（2）先设A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），根据分点坐标公式求出M，N的坐标，再就椭圆的焦点在x轴和y轴上分类讨论，结合设而不求的方法即可求出直线l的斜率k的取值范围．

（1）依题意A（3，0），B（0，6），

∵M、N是线段AB的三等分点，∴不妨记M（1，4），N（2，2）…（3分）

设椭圆方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），

则

4a+4b＝1

a+16b＝1，解得

b＝

1

20

a＝

1

5，…（6分）

∴椭圆方程为

y2

20+

x2

5＝1． …（7分）

（2）设A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），则M（[m/3]，[2n/3]），N（[2m/3]，[n/3]），

…（8分）

①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2＝1（a＞b＞0），

则

点评：

本题考点： 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了椭圆标准方程的定义和求法，椭圆的几何意义，及直线与椭圆的关系，方程思想和分类讨论思想，设而不求解决问题，属基础题．