解题思路：（1）根据f（2）的值建立关于a和b的等量关系，
解法一：根据f（x）=x 有唯一根，可得ax2+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；
解法二：根据f（x）=x 有唯一根，可得x（[1/ax+b]-1）=0，解得一根为0，从而[1/ax+b]-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）将
a
n
＝
a
n−1
a
n−1
+1
取倒数，化简可得{[1
a
n
}为等差数列，从而求出{an}的通项公式．
（3）设{bn} 的首项为
1/m]，公比为q，然后求出这个无穷等比数列的各项和可得到m和q的等量关系，然后任意求出一组符合题意数列即可．
（1）f(2)＝
2
3⇒
2
2a+b＝
2
3 （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以[x/ax+b＝x即ax2+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
x
ax+b]=x
x（[1/ax+b]-1）=0（1分）
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：[1/ax+b]-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）an＝
an−1
an−1+1⇒
1
an−
1
an−1＝1 （2分）
∴{[1
an }为等差数列（1分）
∴
1
an＝
1
a1+(n−1)×1＝n （2分）
所以 an＝
1/n] （1分）
（3）设{bn} 的首项为[1/m]，公比为q （m∈N*，
1
q∈N* ）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
1
m
1−q＝
1
2，[2/m＝1−q；
当m=3 时，q＝
1
3]，bn＝(
1
3)n；
当m＝4时，q＝
1
2，bn＝(
1
2)n+1 （6分）
点评：
本题考点： 数列的求和；一元二次方程的根的分布与系数的关系；等差关系的确定．
考点点评： 本题主要考查了等差数列的判定和数列的求和，同时考查了方程的根的有关问题，属于中档题．
1年前
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