解题思路:(1)点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形,根据梯形的面积公式就可以利用t表示,就得到S与t之间的函数关系式.
(2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.
在Rt△PMQ中根据勾股定理,就得到一个关于t的方程,就可以求出t.
(3)根据相似三角形对应边成比例可列式求出t,从而根据正切的定义求出值.
(4)首先假设存在,然后再根据相似三角形对应边成比例求证.
(1)如图,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12.
∵QB=16-t,
∴S=[1/2]×12×(16-t)=96-6t(0≤t<16);
(2)由图可知:CM=PD=2t,CQ=t.
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
①若PQ=BQ.
在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,
由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,
解得t=[7/2];
②若BP=BQ.
在Rt△PMB中,BP2=(16-2t)2+122.
由BP2=BQ2得:(16-2t)2+122=(16-t)2
即3t2-32t+144=0.
由于△=-704<0,
∴3t2-32t+144=0无解,
∴PB≠BQ.
③若PB=PQ.
由PB2=PQ2,得t2+122=(16-2t)2+122
整理,得3t2-64t+256=0.
解得t1=[16/3],t2=16(舍去)
综合上面的讨论可知:当t=[7/2]秒或t=[16/3]秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.
(3)如图,由△OAP∽△OBQ,得[AP/BQ=
AO
OB=
1
2].
∵AP=2t-21,BQ=16-t,
∴2(2t-21)=16-t.
∴t=[58/5].
过点Q作QE⊥AD,垂足为E.
∵PD=2t,ED=QC=t,
∴PE=t.
在Rt△PEQ中,tan∠QPE=[QE/PE=
12
t=
30
29].
又∵AD∥BC,
∴∠BQP=∠QPE,
∴tan∠BQP=[30/29];
(4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD.
如图,过点Q作QE⊥AD于E,垂足为E.
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ,
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°,
∴∠BQF=∠BDC,
∴∠BDC=∠EPQ,
又∵∠C=∠PEQ=90°,
∴Rt△BDC∽Rt△QPE,
∴[DC/BC=
PE
EQ],即[12/16=
t
12].
解得t=9.
所以,当t=9秒时,PQ⊥BD.
点评:
本题考点: 解直角三角形;勾股定理;直角梯形;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题.并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,应分①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.三种情况进行讨论.