(2008•深圳一模)如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,且AB=AD=

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  • 解题思路:(Ⅰ)证明截面四边形EFGH是平行四边形,然后证明对角线互相垂直即可证明截面四边形EFGH是菱形;

    (Ⅱ)通过等体积法转化为VF-ABH=VH-ABF,求三棱锥F-ABH的体积.

    (Ⅰ)证明:因为平面ABEF∥平面CDHG,且平面EFGH分别交平面ABFE、

    平面CDHG于直线EF、GH,所以EF∥GH.

    同理,FG∥EH.

    因此,四边形EFGH为平行四边形.(1分)

    因为BD⊥AC,而AC为EG在底面ABCD上的射影,所以EG⊥BD.

    因为BF=DH,所以FH∥BD.

    因此,FH⊥EG.(2分)

    由(1)、(2)可知:四边形EFGH是菱形;

    (Ⅱ)因为DA⊥平面ABFE,HD∥AE,所以H到平面ABF的距离为DA=a.

    于是,由等体积法得所求体积VF−ABH=VH−ABF=

    1

    3•S△ABF•DA=

    1

    1

    2ab×a=

    1

    6a2b.

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.

    考点点评: 本题是中档题,考查直线与直线的垂直,四边形是菱形的证明方法,体积的求法,考查计算能力,转化思想.