Question

设a∈R，二次函数f（x）=ax2-2x-2a．若f（x）＞0的解集为A，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求实数a的

Answer 1

解题思路：解：注意到△=4+8a²＞0，则函数有两个零点，由a的正负，确定不等式解集的形式．结合着数轴分类讨论．

由题意可知二次函数a≠0，

令f（x）=0解得其两根为x1＝

1

a−

2+

1

a2，x2＝

1

a+

2+

1

a2

由此可知x₁＜0，x₂＞0

（i）当a＞0时，A={x|x＜x₁}∪{x|x＞x₂}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x₂＜3，

即

1

a+

2+

1

a2＜3解得a＞

6

7

（ii）当a＜0时，A={x|x₁＜x＜x₂}A∩B≠ϕ的充要条件是x₂＞1，

即

1

a+

2+

1

a2＞1

解得a＜-2

综上，使A∩B=ϕ成立的a的取值范围为(−∞，−2)∪(

6

7，+∞)

点评：

本题考点： 一元二次不等式的解法；交集及其运算．

考点点评： 在对集合的相关问题进行求解时，分类讨论时经常考查到的思想方法，另外对于一元二次不等式的解法也是一个基本的知识点，要熟练掌握．