如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.

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  • 解题思路:(Ⅰ)由题设条件及几何体的直观图可证得∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,求出此角的值即可得到二面角的大小;

    (Ⅱ)观察图形,取PD中点E,连接AE,EN,又M,N分别是AB,PC的中点可证得四边形AMNE是平行四边形,得出MN∥AE,再证明AE⊥平面PCD得到MN⊥平面PCD,即可证明平面MND⊥平面PCD;

    (Ⅲ)求异面直线所成的角得先作角,由图形及题设条件知∠PCB为异面直线PC,AD所成的角,在三角形PCB中解此角即可

    (Ⅰ)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴PD⊥CD.

    故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.

    在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,∴∠PDA=45°.…(3分)

    (Ⅱ)证明:如图,取PD中点E,连接AE,EN,又M,N分别是AB,PC的中点,

    ∴EN∥[1/2]CD∥[1/2]AB,

    ∴AMNE是平行四边形,

    ∴MN∥AE.

    在等腰Rt△PAD中,AE是斜边的中线,∴AE⊥PD.

    由PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,可推出CD⊥PD

    又CD⊥AD,AD∩PD=D

    ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,

    又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,

    ∴MN⊥平面PCD,

    ∵MN⊂平面MND,

    ∴平面MND⊥平面PCD…(7分)

    (Ⅲ)∵AD∥BC,∴∠PCB为异面直线PC,AD所成的角.

    由三垂线定理知PB⊥BC,设AB=x(x>0).

    ∴tan∠PCB=

    1+(

    x

    a)2.

    又∵[x/a]∈(0,+∞),∴tan∠PCB∈(1,+∞).

    又∠PCB为锐角,∴∠PCB∈([π/4],[π/2]),

    即异面直线PC,AD所成的角的范围为([π/4],[π/2]).…(12分)

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.

    考点点评: 本题考查与二面角有关的立体几何综合题,解题的关键是熟练掌握二面角的求法,其步骤一般分为三步,作角,证角,求角,其中第二步证角易被忽略导致失分,解题时要注意解题的骤,本题中第二小问证明面面垂直,要注意正确使用判定定理,第三问中求异面直线所成的角,其作法也是要先作角,证角,求角,几何中求角的题其做题步骤基本上都分为此三步,做题后注意总结一下这个规律