已知数列{an}中,a1=1,an乘a(n+1)=(1/2)^n(n∈N*),记T2n为{an}的前2n项和

2个回答

  • ①an×a(n+1)=(1/2)^n,a(n-1)×an=(1/2)^(n-1)

    两式相除,得:a(n+1)/a(n-1)=1/2,那么a(n+2)/an=1/2

    而bn=a2n,b(n+1)=a(2n+2),所以b(n+1)/bn=a(2n+2)/a2n=1/2,为常数

    而b1=a2=(1/2)÷a1=1/2,所以数列{bn}是以1/2为首项、1/2为公比的等比数列

    ②bn=(1/2)^n (n∈N+),其前n项和Bn=1/2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n

    令cn=a(2n-1),同理可得cn是以c1=a1=1为首项、1/2为公比的等比数列,

    cn=(1/2)^(n-1),其前n项和Cn=1×[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=2-(1/2)^(n-1)

    所以T2n=Bn+Cn=1-(1/2)^n+2-(1/2)^(n-1)

    =3-3×(1/2)^n

    ③64T2n×a2n≤3(1-kan),a2n=bn=(1/2)^n

    那么64×[3-3×(1/2)^n]×(1/2)^n≤3[1-k×(1/2)^n]

    化简,得:k≤(2^n)+64×(1/2)^n-64,对于一切n∈N+恒成立

    那么k要小于等于(2^n)+64×(1/2)^n-64的最小值

    而(2^n)+64×(1/2)^n-64≥(2√64)-64=-48 (当且仅当(2^n)=64×(1/2)^n,即n=3时取等)

    所以k≤-48,即实数k的最大值为-48