1,设双曲线的半焦距为c,则依题意,得：
c=2,即a^2+b^2=4...(1)
1/a^2=1...(2)
联立后解得：a^2=1,b^2=3,即双曲线的方程是x^2-(y^2/3)=1
2,设A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线L与双曲线的方程,消去y,得：
(b^2-a^2)x^2+(4a^2)x-a^2(b^2+4)=0
由韦达定理,得：x1x2=a^2(b^2+4)/(a^2-b^2)
x1+x2=(4a^2)/(a^2-b^2)
所以y1y2=(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4
=[a^2(b^2+4)/(a^2-b^2)]-[(8a^2)/(a^2-b^2)]+4
所以向量OA * 向量OB=x1x2+y1y2=0等价于
[a^2(b^2+4)/(a^2-b^2)]+[a^2(b^2+4)/(a^2-b^2)]-[(8a^2)/(a^2-b^2)]+4=0
化简,得：a^2b^2/(a^2-b^2)=-2,即b^2=2a^2/(2-a^2)
依题意,得：a>0...(1)'
b^2=2a^2/(2-a^2)>a^2...(2)'
解得：0