Question

已知函数 f(x)= mx 2 + m-2 2x (m＞0) ．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒

Answer 1

（1）由题意，令 g(x)=lnx-

mx

2 -

m-2

2x +m-1≤0 在x∈[1，+∞）上恒成立

g ′ (x)=

1

x -

m

2 +

m-2

2 x 2 =

-(x-1)(mx+m-2)

2 x 2 …4分

当 -1＜

2

m -1≤1 时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．

∵g _max=g（1）≤0

∴原式成立．

当

2

m -1＞1 ，即0＜m＜1时，∵ g(1)=0， g max =g(

2

m -1)＞g(1)=0

∴不能恒成立．

综上：m≥1…9分

（2）证明：取m=1，则lnx ≤

1

2 (x-

1

x ) ，∴ xlnx≤

x 2 -1

2

令x=n，∴ nlnn≤

n 2 -1

2

∴ 2ln2+3ln3+…+nlnn≤

1

2 [ 2 2 + 3 2 +..+ n 2 +1-n]

∵ 1 2 + 2 2 +…+ n 2 =

n(n+1)(2n+1)

6

∴2ln2+3ln3+…+nlnn ≤

2 n 3 +3 n 2 -5n

12 ，原不等式成立…12分