Question

已知定点A(-1，0)，F(2，0)，定直线l：x= 。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的

Answer 1

(Ⅰ)设P(x，y)，则

，

化简得

。

(Ⅱ)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)，

与双曲线方程

联立消去y得(3-k ²)x ²+4k ²x-(4k ²+3)=0，

由题意知，3-k ²≠0且△＞0，

设B(x ₁，y ₁)，C(x ₂，y ₂)，则

，

，

因为x ₁，x ₂≠-1，所以直线AB的方程为

，

因此M点的坐标为

，

同理可得

，

因此

；

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B(2，3)，C(2，-3)，

AB的方程为y=x+l，因此M点的坐标为

，

，

同理可得

，

因此

，

综上，

，即FM⊥FN，

故以线段MN为直径的圆过点F。