Question

设n为大于1的正整数,证明：存在从小到大排列后成等差数列的n个正整数,它们中任意两项互质.

Answer 1

设这n个数为a1, a2, a3 ... an

取am = (m - 1) × n! + 1 （1 ≤ m ≤ n）

那么数列 {am} 是首项为1,公差为 n! 的等差数列

其中任意两个数 ap, aq （1 ≤ p < q ≤ n）的最大公约数

(ap, aq) = (aq - ap, ap) = ( (q - p) × n!,ap)

∵q - p < n

∴(q - p) × n! 的质因数 均 小于等于n

而ap除以任意一个小于等于n的数都余1

也就是说,(q - p) × n! 的所有质因数,没有一个会是ap的质因数

因此 (q - p) × n! 和 ap 互质

即(ap, aq) = ( (q - p) × n!,ap) = 1

即ap,aq互质

因此,对于任意正整数n,存在n项等差正整数列,它们中的项两两互质

证毕.