已知(a+b)^n的展开式中,第二、第三、第四项的系数成等差数列,求展开式中的倒数第3项.

2个回答

  • 由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

    得,第二、第三、第四项的系数分别是 C(n,1), C(n,2), C(n,3)

    ∵它们成等差数列

    ∴C(n,1)-C(n,2)=C(n,2)-C(n,3)

    化简 n-1/2*n*(n-1)=1/2*n*(n-1)-1/6*n*(n-1)*(n-2)

    n-n*(n-1)=1/6*n*(n-1)*(n-2)

    n^2-9n-14=0

    (n-7)*(n+2)=0

    ∴n=7 或 n=-2(不合题意,舍去)

    从而 展开式中的倒数第3项为 C(n,5)a^(n-5)*b^5=C(7,5)a^(7-5)*b^5

    ∵C(7,5)=C(7,2)

    ∴ C(7,5)a^(7-5)*b^5=C(7,2)a^(7-5)*b^5

    =7*6/2*a^2*b^5

    =21a^2b^5

    ∴展开式中的倒数第3项21a^2b^5.