解题思路：此题直接用函数和其原函数的关系来做，比较麻烦．用举例法来排除选项．
（1）选项B，设f（x）=x2，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=[1/3x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．
（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=
1
2x−
1
4sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=
1
2x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．
（4）选项A，由题意设F(x)
＝∫x0f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)
＝∫−x0f(t)dt+C
令u＝−t
.]-
∫x0f(−u)du+C，
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=
∫x0f(u)du+C＝F(x)，选项A正确．
故选：A．
点评：
本题考点： 函数的奇偶性．
考点点评： 对于一些常见的奇偶函数、周期函数、单调函数例子，要熟悉．在举反例的时候，就能做到顺手拈来．