Question

已知函数f（x）=log3x，g（x）=x2-2x-3．

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得，F（x）=log3(x2−2x−3)，令 x2-2x-3＞0，求得函数F（x）的定义域．本题即求g（x）在定义域上的减区间，结合二次函数g（x）的图象，可得g（x）在定义域上的减区间．（2）由题意可得 G（x）=(log3x)2-2log3x-3，由 x∈[13，9]，∴-1≤log3x≤2．令t=log3x，则-1≤t≤2，G（x）=t2-2t-3=（t-1）2-4，再利用二次函数的性质求得G（x）的值域．

（1）由题意可得，F（x）=f（g（x））=log₃g（x）=log3(x2−2x−3)．

∴x²-2x-3＞0，解得 x＜-1，或 x＞3，

故函数F（x）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

故本题即求g（x）在定义域（-∞，-1）∪（3，+∞）上的减区间．

结合二次函数g（x）的图象，可得g（x）在定义域（-∞，-1）∪（3，+∞）上的减区间为（-∞，-1）．

（2）由题意可得 G（x）=g（f（x））=(log3x)2-2log₃x-3，

∵x∈[

1

3，9]，

∴-1≤log₃x≤2．

令t=log₃x，则-1≤t≤2，G（x）=t²-2t-3=（t-1）²-4，

故当t=1时，函数G（x）取得最小值为-4，当t=-1时，函数G（x）取得最大值为 0，

故G（x）的值域为[-4，0]．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查求函数的解析式，复合函数的单调性，二次函数的性质应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．