Question

在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN

Answer 1

如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,

∴梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠A+∠BCD=180°,

把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′,则△ABM≌△CBM′,

∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,

∴∠BCM′+∠BCD=180°,

∴点M′、C、N三点共线,

∵∠MBN=12∠ABC,

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,

∴∠MBN=∠M′BN,

在△BMN和△BM′N中,

∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,

∴△BMN≌△BM′N（SAS）,

∴MN=M′N,

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,

∴MN=AM+CN；

（2）MN=CN-AM．

理由如下：如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,

∵∠ABC+∠ADC=180°,

∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°,

又∵∠BAD+∠BAM=180°,

∴∠C=∠BAM,

在△ABM和△CBM′中,∠CBM′=∠ABMAB=BC∠C=∠BAM,

∴△ABM≌△CBM′（ASA）,

∴AM=CM′,BM=BM′,

∵∠MBN=12∠ABC,

∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,

∴∠MBN=∠M′BN,

在△MBN和△M′BN中,

∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,

∴△MBN≌△M′BN（SAS）,

∴MN=M′N,

∵M′N=CN-CM′=CN-AM,

∴MN=CN-AM．