Question

（2014•长春一模）已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K1

Answer 1

解题思路：（1）直接由直线PA，PB的斜率乘积等于-[1/4]列式求解；

（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，再由OM⊥ON，得到两线段对应的向量的数量积等于0，列式求得k与m的关系，然后由点到直线的距离公式整体计算求得O点到直线L的距离．

（1）设P（x，y），由已知得[y/x+2•

y

x-2=-

1

4]，

整理得x²+4y²=4，即

x2

4+y2=1（x≠±2）；

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由

y=kx+m

x2

4+y2=1，消去y得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．

由△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，得4k²+1-m²＞0．

x1+x2=-

8km

4k2+1，x1x2=

4m2-4

4k2+1，

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1•x2+km(x1+x2)+m2=0，

∴(1+k2)•

4m2-4

4k2+1+km•(-

8km

4k2+1)+m2=0．

∴m2=

4

5(k2+1)，满足4k²+1-m²＞0．

∴O点到l的距离为d=

|m|

1+k2，即d2=

m2

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了点到直线的距离公式，体现了整体运算思想方法，是高考试卷中的压轴题．