Question

如图△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°,求证,BE²+CF

Answer 1

证明：

△ABC为等腰三角形,∠BAC=90°

有AB=AC

以AC为一边在△ABC的外侧作△AGC≌△AEB,则有

∠AEB=∠AGC,∠BAE=∠GAC,CG=BE,

∴∠GAF=∠FAC+∠GAC=∠FAC+∠BAE=∠BAC-∠EAF=45°

∴∠AGC+∠AFC=∠AEB+∠AFC=∠AFE+∠EAF+∠AEF+∠EAF=（∠AFE+∠EAF+∠AEF）+45°=180°+45°=225°

由∠GAF=∠EAF,AE=AG,AF=AF得△AGF≌△AEF

∴EF=GF

∵∠GCF=360°-∠GAF-∠AGC-∠AFC=360°-45°-225°=90°

∴CG²+CF²=GF²

∴BE²+CF²=EF²