过点P(2,1)作直线l,与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则使|PA|•|PB|取得最小值时的直线l的方程是__

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  • 解题思路:设直线l的点斜式方程,求出A,B两点的坐标,代入|PA|•|PB|的解析式,使用基本不等式,求出最小值,注意检验等号成立条件.

    设直线l:y-1=k(x-2),分别令y=0,x=0,

    得A(2-[1/k],0),B(0,1-2k).

    则|PA|•|PB|=

    (4+4k2)(1+

    1

    k2)=

    8+4(k2+

    1

    k2)≥4,

    当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|•|PB|取最小值,

    又∵k<0,

    ∴k=-1,

    这时l的方程为x+y-3=0.

    故答案为:x+y-3=0.

    点评:

    本题考点: 直线的一般式方程.

    考点点评: 本题考查了直线的点斜式方程,以及基本不等式的应用.