Question

已知方程x2+y2+2mx-2ny-2=0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx+ny+1=0上，则

Answer 1

解题思路：先根据方程x²+y²-2mx+2my-2=0，确定第三象限的定点A的坐标，代入直线l：mx+ny+1=0上，利用基本不等式，可求正数m，n的乘积的最大值，故可求直线方程．

∵方程x²+y²-2mx+2my-2=0

∴x²+y²-2-2m（x-y）=0

解方程组

x2+y2−2＝0

x−y＝0

得

x＝1

y＝1或

x＝−1

y＝−1

∵A在第三象限

∴A（-1，-1）

∵点A在直线l：mx+ny+1=0

∴m+n=1

∵m＞0，n＞0

∴mn≤(

m+n

2)2=[1/4]

当且仅当m=n=[1/2]时，正数m，n的乘积取得最大值

∴直线l：mx+ny+1=0为直线l：x+y+2=0

故答案为：x+y+2=0．

点评：

本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；二元二次方程表示圆的条件．

考点点评： 本题以圆的方程为载体，考查定点问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是根据圆的方程确定定点的坐标．