Question

若直线y=kx+b与抛物线x2=4y相交于A、B两点，且|AB|=4，

Answer 1

解题思路：（1）联立方程得：x²-4kx-4b=0，利用韦达定理，弦长公式求解．

（2）求出AB中点M的坐标，表示中x₁+x₂=4k，转化为函数求解．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y＝kx+b

x2＝4y，化简得：x²-4kx-4b=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=4b，

∵|AB|=4，∴

1+k2

16k2+16b=4，即（1+k²）（k²+b）=1，

b=[1

1+k2−k2，

（2）x₁+x₂=4k，x₁+x₂=4k，AB中点M，

/AB]中点M离x轴的距离

y1+y2

2=

k(x1+x2)

2+b=2k²+b=k²+[1

1+k2=k²+1+

1

1+k2-1≥2-1=1

所以

/AB]中点M离x轴的最短距离为1．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题综合考查了运用方程组，韦达定理，弦长公式，借助不等式求解最值的方法．