Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线

Answer 1

解题思路：根据抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为双曲线

x

2

a

2

−

y

2

b

2

＝1(a＞0，b＞0)

的一个焦点，可得

p

2

＝c

，利用经过两曲线交点的直线恰过点F，可得（c，2c）为双曲线

x

2

a

2

−

y

2

b

2

＝1(a＞0，b＞0)

的一个点，由此即可求出双曲线的离心率．

由题意，∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为双曲线

x2

a2−

y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点

∴[p/2＝c

∵经过两曲线交点的直线恰过点F

∴(

p

2，p)，即（c，2c）为双曲线

x2

a2−

y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的一个点

∴

c2

a2−

4c2

b2＝1

∴（c²-a²）c²-4a²c²=a²（c²-a²）

∴e⁴-6e²+1=0

∴e2＝3±2

2]

∵e＞1

∴e=1+

2

故答案为：1+

2

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．