Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）利用a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，代入计算可得结论；

（2）根据a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得数列{b_n}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可确定结论．

（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，

∴a₂=2+3=5，a₃=2+5+9=16；

（2）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，

∴S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ

∵b_n=Sn−3n，

∴

bn+1

bn=

Sn+1−3n+1

Sn−3n=2

∴{b_n}为等比数列，公比为2．

又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，

∴b_n=（a-3）•2^n-1．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，属于中档题．