Question

在正三棱锥P-ABC中,M为三角形ABC的一动点,且点到三个侧面的距离成等差数列,则点M的轨迹是

Answer 1

M到三个侧面的距离为等差数列,又正棱锥三个侧表面面积相等,棱锥的体积为1/3底面积乘高

由此可得到：

P-ABM、P-BCM、P-CAM三个棱锥的体积成等差数列

若以ABC平面为底面,三个棱锥的高是相同的,可得

三角形ABM、BCM、CAM的面积成等差数列

当其中一个三角形的面积为三角形ABC面积的1/3时,即可满足条件

若确定某一三角形为中值时,M的轨迹为过ABC中心平行于对应边线段

综上,M的轨迹为过ABC中心且平行于三边的三条线段