已知抛物线y^2=8x上有一点P(2,4),以点P为一个顶点做抛物线的内接三角形PQR,使得△PQR的重心是抛物线的焦点

1个回答

  • y²=2px=8x

    所以p/2=2

    所以焦点(2,0)

    设Q(a,b)

    R(c,d)

    P(2,4)

    重心(2,0)

    所以(2+a+c)/3=2

    (4+b+d)/3=0

    a+c=4,b+d=-4

    QR在y²=8x

    b²=8a,d²=8c

    8a+8c=b²+d²

    所以32=(b+d)²-2bd=16-2bd

    bd=-8

    b=-4-d

    -4d-d²=-8

    d²+4d-8=0

    d=-2±2√3

    所以b=-2+2√3,d=-2-2√3

    或b=-2-2√3,d=-2+2√3

    若取第一组

    a=b²/8=2-√3,c=2+√3

    所以k=(b-d)/(a-c)=-2

    若取第二组,k=2

    所以y-(-2-2√3)=2[x-(2+√3)]

    和y-(-2+2√3)=-2[x-(2-√3)]

    即2x-y-6-4√3=0和2x+y-2=0