Question

已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少?谢

Answer 1

已经答过,现在复制如下：

设PA与PO的夹角为a,则

|PA|=|PB|=1/tan(a)

y=PA.PB=|PA|*|PB|*cos(2a)

=1/[(tana)^2] *cos(2a)

=(cosa)^2/[(sina)^2] * cos2a

=[(1+cos2a)/(1-cos2a)] *cos2a

(用到(cosa)^2=(1+cos2a)/2

(sina)^2=(1-cos2a)/2

记cos2a=u.

则y=u(1+u)/(1-u)=-u-2+ 2/(1-u)

=-3+(1-u)+2/(1-u)

>=-3+2*根号{(1-u)*[2/(1-u)]}

=-3+2*根号2

以上用到算术平均与几何平均的不等式.

（1-u)为正数

即PA向量点乘PB向量的最小值为:-3+2*根号2.